欧式几何
同一直线的垂线和斜线相交 。
垂直于同一直线的两条直线或向平行 。
存在相似的多边形 。
过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆 。
罗氏几何
同一直线的垂线和斜线不一定相交 。
垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷 。
不存在相似的多边形 。
过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆 。
从上面所列举得罗氏几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾 。所以罗氏几何中的一些几何事实没有象欧式几何那样容易被接受 。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的 。
1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现 。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾 。
人们既然承认欧几里得是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了 。直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼” 。
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何 。这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性 。因此这三种几何都是正确的 。
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